Vô Biên – Thúc sinh gặp may

Sau một « trận cuời » thâu đêm, Thúc sinh bảo Kiều : « Đêm qua, ta đánh bạc, gặp may, đã được một món tiền lớn.
(1) Nếu đem món tiền đó chia ra làm 28 phần đều nhau thì còn dư lại 3 quan.
(2) Nếu chia ra làm 365 phần đều nhau thì còn dư lại 6 quan . Vậy ta đã được ít nhất là bao nhiêu ? »
Kiều mỉm cười, trả lời « Như vậy thì chàng đã được ít nhất là 9131 quan ! »
Kiều đã làm thế nào mà tìm ra được kết quả đó ?

* * *

Thúc sinh quen thói bốc trời,
Trăm nghìn đổ một trận cười như không

(Truyện Kiều)
 
Sau một « trận cuời » thâu đêm, Thúc sinh bảo Kiều : « Đêm qua, ta đánh bạc, gặp may, đã được một món tiền lớn.
(1) Nếu đem món tiền đó chia ra làm 28 phần đều nhau thì còn dư lại 3 quan.
(2) Nếu chia ra làm 365 phần đều nhau thì còn dư lại 6 quan . Vậy ta đã được ít nhất là bao nhiêu ? »
Kiều mỉm cười, trả lời « Như vậy thì chàng đã được ít nhất là 9131 quan ! »
Kiều đã làm thế nào mà tìm ra được kết quả đó ?

Vô Biên ghi chép

Bài giải (của Thúy Kiều )
 
Ta hãy đặt « y » là một lời giải : y là một số nguyên và y > 0 .
Những điều kiện (1) và (2) trên đây nghĩa là : « Có một số nguyên dương « i » : i > 0 và một số nguyên dương « j » : j > 0 mà :
y = 3 + 28 i = 6 + 365 j (3) .
Ta phải tìm cách giải phương trình (3) này và tìm ra những trị số của i và của j . Ta có :
3 + 28 i = 6 + ( 364 + 1 ) j = 6 + ( 28 x 13 + 1 ) j = 6 + 28 (13) j + j (4)
 
vậy :   28 i – 28 (13 ) j = 6 – 3 + j    hoặc     3 + j =   28 ( i – 13 j ) (5)
Vế trái của (5) có ( 3 + j) > 0,  
 vậy trong vế phải : ( i – 13 j) > 0         
và (6) vế phải của (5) là một bội số > 0 của 28
Vậy   vế trái ( 3 + j ) phải là một bộ số > 0 của 28 .
Nếu j < 25 thì ( 3 + j ) 0 của 28 .
Vậy  “j”  ít nhất phải bằng : j0  = 25 .
Và (5) cho ta : 3 + 25 = 28 ( i0 – 13 x 25 )
Vậy “i” ít nhất phải bằng : i0 =  13 x25 + 1 = 326
Nay (3) cho ta biết “y” ít nhất phải  bằng :
 y0 =   3 + 28 x 326 = 6 + 365 x 25 = 9131 (7)
 
Thúc sinh đã được ít nhất là 9131 quan, đúng như Kiều đã nói .
 
Lời chú
Ta hãy tìm tất cả những lời giải của bài toán .Trên đây ta đã thấy ( 3 + j ) > 0
 và phải là một bội số của 28 vậy ta có một số nguyên dương k = 0, 1, 2, 3, … mà
3 + j = 28 + 28 k     vậy     j = 25 + 28 k      với k = 0, 1, 2, …. (8)
Dùng (8) trong (5) thì ta có : 3 + 25 + 28 k = 28 ( i – 13 j )
vậy    1 + k = i – 13 j
Và  i = 13 j + k + 1 = 13 (25 + 28 k ) + 1 = 326 + 365 k     (9)
Và (3) cho  ta : y = 3 + 28 ( 326 + 365 ) k = 6 + 365 ( 25 + 28 k )
Vậy :                  y = 9131 + (28 x 365 ) k với k = 0, 1, 2, …    (10)
Thí dụ –   k = 0 thì y = 9131, k = 1 thì y = 9131 + 28 x 365 x 1 = 19 351 v…v …

Vô Biên

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s